Ergibt 1/2 immer die Hälfte?

In einem Artikel von Martin, 1+1!=2 , wird dargelegt, dass die Addition zweier Zahlen, nicht unbedingt das ergeben muss, was man gemeinhin erwartet.

In diesem Artikel werfe ich die Frage auf, ob $\frac{x}{2}$ immer die Hälfte ist.

Angenommen da sind zwei Hunde, Bello und Wuffel, die zusammen einen 20kg leichten Wagen ziehen und der Innenwinkel zwischen den Riemen, an denen der Wagen jeweils gezogen wird, etwa bei 30° liegt.

Um das Gewicht des Wagens, dessen Masse 20kg beträgt, zu ermitteln, muss die Fallgeschwindigkeit von $\approx 9.81$ hinzu gerechnet werden ($Masse \times Erschbeschleunigung = 20\mathrm{kg} \times 9.81 \approx 196.2N\mathrm{ewton}$). Das Wägelchen ist also um die 186 Newton schwer.

Nun geht es darum, zu ermitteln, wieviel Arbeit W durch einen Einzelnen investiert werden muss, um diesen Wagen 500 Meter nach Haus zu ziehen. Für die Arbeit W gilt

$$W = |\overrightarrow{F}| \times |\overrightarrow{s}|$$

Damit lässt sich die Arbeit W, die durch einen Hund verrichtet werden soll, errechnen. Mit den oben angeführten Formeln ergibt sich

$$W = \overrightarrow{196.2} \times \overrightarrow{500} \approx 98100N$$

Es müssen um die 98 Tausend Newton aufgewendet werden, um einen 20kg Wagen auf ebenen 500 Metern von A nach B zu rollen. Die Frage war nun, ob hier die umgekehrte Proportionalität gilt und sich die Arbeit für die zwei Hunde jeweils halbiert. Dafür muss die Richtung der Kraft die die beiden Hunde aufwenden, mitberechnet werden.

$$W = |\overrightarrow{F}| \times |\overrightarrow{s}| \times \cos\gamma$$$$W = |\overrightarrow{196.2}| \times |\overrightarrow{500}| \times \cos(150°) \approx 84957N$$

Die Arbeit pro Hund hat sich nicht um die Hälfte verringert, denn

$$85000N \ne \frac{98,000N}{2}$$

Der Grund liegt darin, dass die Richtung, in die die beiden Hunde jeweils ziehen, nicht parallel zueinander und in Richtung, in der der Wagen gezogen werden soll, liegt. Die Vektoren, die sich aus Kraft und Richtung ergeben, weichen vom Ziel ab und so geht Arbeit verloren. Es wird Arbeit verrichtet, die nicht dem Ziel, den Wagen nach Hause zu ziehen, zugeführt werden.

Man kann also sagen, dass nicht zwingend $1 + 1 = 2$ sind und $\frac{x}{2} = 0.5$. Es gibt Fälle, wo das nicht zutrifft.

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